Плата за вход

Сколько вы согласились бы заплатить за участие в следующей игре? Я бросаю игральную кость и плачу вам столько долларов, сколько на ней выпадет очков. В одном случае из шести выпадает «шестерка», и вы получаете 6 долларов. Любое другое число тоже выпадает один раз из шести. За шесть бросков вы можете заработать 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 доллар. Значит, средний выигрыш за один бросок равен 21/6 = 3,50. Если вам предложат сыграть за меньшую плату, имеет смысл соглашаться, потому что в долгосрочной перспективе вы должны остаться в выигрыше. Каждый раз, когда играешь на деньги, разумно оценить, каким должен быть средний выигрыш, чтобы понять, стоит ли играть в эту игру.

Хотя к открытию того факта, что к азартным играм можно применять математические методы, привела переписка между Ферма и Паскалем, математическая теория вероятностей по-настоящему кристаллизовалась лишь с появлением работы швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений» (Ars Conjectandi)[111]. Якоб принадлежал к тому самому клану Бернулли, который выступал на стороне Лейбница в споре об авторстве математического анализа. Именно в этой работе можно найти формулу целесообразной платы за участие в любой игре.

Предположим, существует N возможных исходов. В случае исхода 1 вы выигрываете W(1) долларов. Это происходит с вероятностью P(1). Аналогичным образом исход 2, вероятность которого P(2), приносит вам W(2) долларов. Каждый раз, когда вы играете в эту игру, вы выигрываете в среднем W(1) × P(1) + … + W(N) × P(N) долларов. Таким образом, если вам предлагают сыграть за меньшую сумму, в долгосрочной перспективе вы останетесь в выигрыше. Например, в моей игре с игральной костью есть шесть исходов, все вероятности P(1), … P(6) равны 1/6, а выигрыши W(1), … W(6) составляют от 1 до 6 долларов.

Эта формула казалась правильной, пока родственник Якоба Николай Бернулли[112] не совершил нечто почти наводящее на мысль об эдиповом комплексе: он придумал следующую игру. Я подбрасываю монету. Если выпадает орел, я плачу вам 2 доллара и игра заканчивается. Если выпадает решка, я подбрасываю монету еще раз. Если на этот раз выпадает орел, я плачу вам 4 доллара. Если решка, я подбрасываю монету еще раз. Каждый раз, когда я подбрасываю монету, выигрыш удваивается. Например, если 6 раз выпадает решка, а потом орел, я должен заплатить вам 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁷ = = 128 долларов. Сколько вы согласились бы платить за участие в игре Николая? Четыре доллара? Двадцать? Сто?

Существует 50-процентный шанс, что вы выиграете всего 2 доллара. В конце концов, вероятность того, что при первом же броске выпадет орел, равна 1/2. Значит, P(1) = 1/2, а W(1) = 2. Но вы надеетесь, что перед орлом будет долгая череда решек: тогда вы получите по-настоящему большой выигрыш. Вероятность того, что сначала выпадет решка, а за ней – орел, равна 1/2 × 1/2 = 1/4. Но в этом случае вы выиграете 4 доллара. Значит, для второго исхода P(2) = 1/4, а W(2) = 4. По мере продолжения игры вероятности становятся все меньше, но выигрыш – все больше. Так, для случая с шестью решками перед орлом вероятность равна (1/2)⁷ = 1/128, но выигрыш составляет 2⁷ = 128 долларов.

Если вы останавливаете игру после 7 бросков, вы проигрываете только в случае выпадения семи решек подряд. По формуле Якоба средний выигрыш получается равным W(1) × P(1) ++ … + W(7) × P(7) = (1/2 × 2) + (1/4 × 4) + … + (1/128 × 128) == 1 + 1 + … + 1 = 7 долларам. Таким образом, играть имеет смысл, если за это предлагают заплатить меньше 7 долларов.

Но вот в чем загвоздка. Николай готов играть бесконечно, пока не выпадет орел. Вы выигрываете в каждой партии. Сколько же вы можете заплатить за участие в игре? Теперь вариантов бесконечно много. Из формулы следует, что средний выигрыш будет составлять 1 + 1 + 1 + … – бесконечно много долларов! Если вам предлагают играть по таким правилам, выгодно согласиться, сколько бы это ни стоило. Если плата за участие – 2 доллара, вы будете проигрывать с вероятностью 50 процентов, каждый раз, когда с первого же броска будет выпадать орел. Но математика утверждает, что если вы будете продолжать игру, то в долгосрочной перспективе вы должны оказаться в выигрыше.

Почему же большинство не согласится играть в такую игру, если входная плата будет больше долларов десяти или около того? Речь идет о санкт-петербургском парадоксе, названном так в честь Даниила Бернулли, двоюродного брата Николая[113], который предложил первое объяснение причин, по которым ни один рационально мыслящий человек не согласится играть в такую игру за любую плату. В то время Даниил работал в Академии наук в Санкт-Петербурге. Его ответ сводится к тому, что скажет вам любой миллиардер: первый заработанный миллион гораздо ценнее второго. В формулу нужно подставлять не сумму выигрыша, а его ценность для вас лично. Поэтому цена, которую вы готовы заплатить за участие в игре, меняется в зависимости от того, насколько вы цените ее исход. Решение Даниила имело значение, выходящее далеко за рамки любопытной математической игры: по сути дела, оно стало основой всей современной экономики.

Чтобы еще раз показать, что этот шорткат к миллиардному состоянию на самом деле не так хорош, как кажется, рассмотрим следующий вопрос: если вам удается играть по одной партии в секунду, сколько времени займут 2⁶⁰ партий? Именно на такое количество партий в санкт-петербургскую игру следует рассчитывать, чтобы остаться при своих, если плата за участие равна 60 долларам. Ответ – более 36 миллиардов лет. Возраст нашей Вселенной – не более 14 миллиардов лет. Этот результат дает еще один ответ на вопрос о том, почему большинство не согласится платить произвольную сумму за участие в этой игре.

Козы и машины

В 1990-х множество людей по всему миру, в том числе профессиональные математики, яростно спорили об оптимальной стратегии решения одной задачи из американской телевизионной игры «Заключим сделку» (Let’s Make a Deal)[114]. В игре был финальный раунд, проходивший приблизительно следующим образом.

Есть три закрытые двери. За двумя из них находятся козы, а за третьей – новенький спортивный автомобиль. В дальнейших рассуждениях я предполагаю, что участник игры хочет получить автомобиль, а не козу. Участник может выбрать одну из дверей – скажем, дверь А. Пока что все достаточно просто: вероятность того, что машина именно за этой дверью, равна одной трети, правильно? Но дальше начинается самое интересное. Ведущий, который знает, где находятся козы, открывает одну из двух оставшихся дверей, и за ней оказывается коза. Затем он ставит участника перед выбором: тот может либо открыть ту дверь, которую назвал исходно, либо изменить свое решение и открыть другую. Как поступить участнику?

Многим интуитивно кажется, что к этому моменту, раз осталось всего две двери, существует 50-процентная вероятность, что машина находится за той дверью, которую участник выбрал с самого начала. Если он изменит свое решение, это никак не повлияет на его шансы на победу, а если в результате окажется, что он с самого начала выбрал правильную дверь, то он никогда себе не простит, что отказался от приза. Поэтому чаще всего участники игры своего решения не меняют.

Но на самом деле изменение решения удваивает шансы участника на победу. Это может показаться странным, но вот почему это так. Чтобы вычислить вероятность победы, нужно перебрать все возможные сценарии с изменением решения и подсчитать, в скольких из них участник выигрывает.

Все эти сценарии равновероятны. Однако в двух из трех случаев участник выигрывает машину. Если же он не изменяет своего решения, то выигрывает лишь в одном случае из трех. Выбрав другую дверь, он действительно удваивает свои шансы на победу!