Ферма и Паскаля вдохновило на создание шортката известие о задаче, похожей на ту, которую обдумывал Пипс. Их общий знакомый, шевалье де Мере, хотел узнать, какая из следующих ставок выгоднее:
А. В четырех бросках одной кости выпадет шестерка.
Б. В 24 бросках двух костей выпадет двойная шестерка.
Этот шевалье был на самом деле не рыцарем, а писателем и математиком – его звали Антуан Гомбо; этот титул Гомбо дал персонажу, выражавшему его взгляды в диалогах, которые он писал. Но прозвище прилипло к нему самому, и друзья стали называть его шевалье. Он попытался решить головоломку с костями длинным путем и поставил множество опытов, снова и снова бросая кости. Но получавшиеся результаты не позволяли сделать какого-либо вывода.
Тогда он решил принести эту задачу в салон, который организовал из своей кельи монах-иезуит Марен Мерсенн. Мерсенн был своего рода центром интеллектуальной деятельности Парижа того времени: он получал интересные задачи и пересылал их другим своим корреспондентам, у которых, как ему казалось, могли появиться светлые мысли по поводу их решения. Когда дело дошло до задачи шевалье де Мере, он, несомненно, не ошибся в своем выборе. Ответу Ферма и Паскаля было суждено стать основой шортката, которому посвящена эта глава, – теории вероятностей.
Неудивительно, что длинный путь не слишком помог шевалье де Мере решить, какая ставка выгоднее. Когда Ферма и Паскаль применили к костям свой новый вероятностный подход, выяснилось, что вариант А выпадает в 52, а вариант Б – в 49 процентах случаев. Если сыграть в эту игру 100 раз, ошибки, вкрадывающиеся в основанные на случайности игры с использованием костей, с легкостью скроют эту разницу. Истинный паттерн может проявиться лишь после приблизительно 1000 партий. Этим и ценен этот шорткат. Он избавляет от большого количества трудоемких повторений экспериментов, которые к тому же могут создать ошибочное впечатление от задачи.
Шорткат, который изобрели Ферма и Паскаль, интересен тем, что он действительно помогает получить преимущество, но лишь в долгосрочной перспективе. В отдельной партии он игроку не поможет. Тут все по-прежнему зависит от воли богов. Но на долговременном масштабе он оказывает очень сильное влияние. Поэтому он очень полезен казино и не столь полезен праздному игроку, надеющемуся по-быстрому разбогатеть, бросив кости всего один раз.
В Лондоне же Пипс писал, с каким интересом он наблюдал, возвращаясь домой, как игроки стараются выкинуть семерку: «Надо было слышать, как они ругались и поносили судьбу; так, один джентльмен, который должен был выбросить “семерку” и никак не мог этого сделать, в сердцах закричал, что пусть он будет проклят, если ему впоследствии хотя бы раз удастся выкинуть “семерку”, – столь велико было его отчаяние; другие же без всякого труда выбрасывали злополучную “семерку” по нескольку раз кряду».
Действительно ли в том, что этот игрок никак не мог выкинуть семерку, было особое невезение? Стратегия, которую Ферма и Паскаль придумали для вычисления шансов получения на двух костях определенных чисел, сводилась к анализу разных вариантов выпадения костей и рассмотрению доли тех вариантов, которые дают семь очков. Первая кость может упасть шестью разными способами, что в сочетании с шестью же вариантами падения второй кости дает в общей сложности 36 разных комбинаций. Шесть из них приносят семь очков: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 и 6 + 1. Поскольку вероятности выпадения каждой из комбинаций одинаковы, можно утверждать, что семь очков выпадают в 6 из 36 случаев. Собственно говоря, это самый вероятный из всех результатов броска двух костей. Но все же в 5 случаях из 6 семерка не выпадает. Насколько в действительности был невезуч тот джентльмен, который впал в отчаяние из-за того, что не мог выбросить семерку несколько раз подряд?
Какова же вероятность, что семерка так и не выпадет за четыре броска? Перебор всех разных сценариев кажется делом практически непосильным, потому что число возможных исходов равно 364 = 1 679 616. Но тут приходят на помощь Ферма и Паскаль, потому что есть один шорткат. Чтобы получить вероятность того, что семерка не выпадет за четыре броска, нужно просто перемножить вероятности для всех этих бросков: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 ≈ 0,48. Значит, вероятность того, что семерка не выпадет четыре раза подряд, составляет около половины – почти равные шансы.
Верно и обратное: при четырех бросках двух костей есть почти равные шансы увидеть семерку. Такой же анализ показывает, что при четырех бросках одной кости есть равные шансы получить шестерку. Значит, в том, что джентльмен, которого видел Пипс, не выкинул ни одной семерки за четыре броска, нет ничего особенно удивительного. Это все равно что не выкинуть орла, подкинув монету один раз.
Из того факта, что семерка – наиболее вероятная комбинация двух костей, можно извлечь выгоду для себя во многих играх, в которых используются кости, например в нардах или «Монополии». К примеру, самая посещаемая клетка на доске «Монополии» – это «Тюрьма». В сочетании с вероятным результатом броска двух костей это означает, что с клетки «Тюрьма» многие игроки попадают на клетки с недвижимостью оранжевой зоны чаще, чем куда бы то ни было еще. Поэтому тот, кому удастся захватить оранжевые клетки и застроить их гостиницами, получит решающее преимущество в игре.
Хитрый шорткат: рассмотрим обратный случай
В вычислениях Ферма и Паскаля скрыт еще один изобретательный шорткат, которым часто пользуются математики. Что будет, если попробовать решать эту задачу, вычислив вероятность выпадения семерки за четыре броска костей? Для этого явно нельзя перемножить вероятности выпадения семерки четыре раза. Это произведение даст вероятность редкого случая выпадения четырех семерок подряд. Вместо этого нужно перебрать все возможные комбинации, в которых может выпасть семерка. Придется вычислить вероятность выпадения семерки в первом броске и ее отсутствия во всех последующих или ее отсутствия в двух первых бросках и выпадения двух семерок в двух последних. Снова масса работы. Но здесь можно использовать очень полезный шорткат. Есть всего один случай, который нас не интересует: когда семерка не выпадает ни разу. Но вычислить его вероятность легко.
Поэтому можно не пытаться решить задачу в лоб, а взглянуть на нежелательный исход. Мне лично этот шорткат очень помогает, над какой бы задачей я ни работал. Если с чем-нибудь не получается справиться напрямую, нужно попробовать посмотреть на обратную сторону. Например, понимание сознания – трудная научная задача, но анализ того, что сознания не имеет, иногда может привести к новым идеям относительно этой проблемы. Поэтому изучение пациентов, находящихся в состоянии глубокого сна или комы, может помочь ученым понять, что именно делает бодрствующий мозг сознательным.
Шорткат через оборотную сторону дает ключ и к решению следующей задачи: каждые выходные в Великобритании проходят матчи футбольной Премьер-лиги. Какова доля таких матчей, в которых на поле оказываются два человека с совпадающими днями рождения?
На первый взгляд кажется, что такое должно случаться очень редко. Может быть, один раз из десяти? Я думаю, что это впечатление возникает под влиянием мысли, что этот вопрос равнозначен следующему: если в эти выходные я буду играть в футбол, какова вероятность, что на поле окажется человек с тем же днем рождения, что и у меня? Вероятность такого события составляет около 5 процентов.
Однако тут речь идет лишь о сопоставлении меня самого с каждым из прочих футболистов. А как насчет всех остальных возможных пар? День рождения не обязательно должен совпасть именно у меня. Тогда задача усложняется, и становится ясно, что разных вариантов образования пар существует очень много.
Но при помощи шортката с рассмотрением обратной задачи можно прийти к решению гораздо более рациональным путем. Какова вероятность того, что на поле нет людей с совпадающими днями рождения? Если вычислить эту величину и отнять ее от 1, получится вероятность того, что два человека с одинаковыми днями рождения на поле есть.
Игра вот-вот начнется. Команды выбегают на поле: чтобы нам было удобнее, игроки выходят по одному. Первым выбегаю я. За мной – следующий футболист. Вероятность того, что его день рождения не совпадает с моим, – 364/365. Нужно только, чтобы он не родился в тот же день, что и я, – 26 августа.