Этим дело не кончается. Можно перейти к пяти, шести и даже большему числу измерений и построить гиперкубы и в этих мирах. Например, у N-мерного гиперкуба должно быть 2^N вершин. От каждой из этих вершин отходят N ребер, каждое из которых мы учитываем дважды. Следовательно, N-мерный куб имеет N × 2^N –1 ребер.

Когда я попробовал на зуб четырехмерный куб, это разожгло во мне аппетит к открытию других фигур в этой необычной многомерной вселенной. Построение в ней новых симметричных объектов стало моей страстью. Например, если вы когда-нибудь бывали в великолепном дворце Альгамбра в Гранаде, вас (я надеюсь) привели в восторг те чудесные игры в симметрию, в которые играли на его стенах художники. Но можно ли понять эти симметрии? Мой шорткат к пониманию с первого взгляда того, что кажется очень наглядным, – это превращение симметрии в язык.

Создание нового языка для понимания симметрии, известного под названием «теория групп», относится к началу XIX века. Этот язык был порождением ума одного выдающегося молодого человека – французского революционера Эвариста Галуа. К несчастью, его жизнь оборвалась до того, как он сумел в полной мере реализовать потенциальные возможности своего открытия. В двадцатилетнем возрасте он был застрелен на дуэли, поводом для которой были любовь и политика.

Хотя две разные стены в Альгамбре украшены очень разными узорами, математика симметрии позволяет установить, что симметрии этих двух стен одинаковы. Такова сила нового языка, который создал Галуа.

Симметрию можно определить как те действия, производимые над объектом, после которых он выглядит так же, как и до них. Галуа понял, что важная характеристика симметрии заключается во взаимодействии между отдельными симметриями. Что, если дать симметриям названия? Тогда можно найти своего рода грамматику, на которой основаны все они. Эта грамматика стала шорткатом к пониманию мира симметрий. Изображения исчезли, а на их месте возникла особая алгебра, выражающая, как симметрии взаимодействуют друг с другом.

При помощи теории групп к концу XIX века математики сумели доказать, что существует всего 17 разных типов симметрии орнаментов, которые возможно изобразить на стенах Альгамбры или где бы то ни было еще. Мои собственные исследования продолжают эти изыскания, выводя их в гиперпространство. Я пытаюсь понять, сколькими разными способами можно украсить Альгамбру орнаментами в многомерном пространстве. Речь идет о здании, построенном не из камня, а из языка.

Эти сюрреалистические формы можно увидеть и в нашем обыденном трехмерном мире. Большая арка Дефанс в пригороде Парижа, которую построил датский архитектор Йохан Отто фон Спрекельсен, на самом деле представляет собой трехмерную проекцию четырехмерного куба, или куба, заключенного в кубе. На картине Сальвадора Дали «Распятие, или Гиперкубическое тело» Христос изображен распятым на трехмерной развертке четырехмерного гиперкуба.

Есть даже компьютерная игра, которая должна позволить игрокам получить опыт существования в четырехмерном пространстве. Ее придумал разработчик компьютерных игр Марк тен Бош, который работает над созданием этой гиперигры уже более десятилетия. Игрок, перед которым на экране оказалась стена, не позволяющая ему пройти дальше в трехмерном мире, может включить четвертое измерение и, переместившись в новом направлении, найти параллельный мир, в котором есть шорткат за эту стену. Судя по всему, игра должна получиться потрясающей, и я с нетерпением жду ее выпуска. Однако я подозреваю, что ее разработка так сильно затянулась отчасти из-за того, насколько разработчику с трехмерным разумом трудно создавать и объединять все эти четырехмерные миры.

Победа в играх

Я вообще очень люблю игры, и не только безумные четырехмерные. Мне нравится коллекционировать новые игры в поездках по всему миру. Но меня не перестает поражать тот факт, что игры из разных уголков света, хотя они и выглядят совершенно не похоже друг на друга, часто бывают, по сути дела, одной и той же игрой в разных нарядах. Это навело меня на мысль, что во многие игры гораздо проще играть, если удастся превратить их в другие, непохожие с виду, игры.

Многие из задач, которые нам приходится решать в жизни, – это, по сути дела, замаскированные игры. Потенциальное сотрудничество между двумя конкурирующими компаниями часто оказывается примером игры под названием «дилемма заключенного». В соперничестве трех сторон может скрываться игра камень-ножницы-бумага. Если вы видели фильм «Игры разума», вы, возможно, помните тот момент, когда один из создателей теории игр, Джон Нэш, которого играет Рассел Кроу, превращает в игру попытку познакомиться в баре с красивой женщиной. Но у игр есть правила, которые очень хорошо умеет описывать математика. Один из величайших шорткатов к победе в игре, открытых математикой, – это превращение игры в нечто совершенно иное, при котором победная стратегия становится гораздо более ясной.

Один из моих любимых примеров такого рода связан с игрой под названием «15». Каждый из участников игры по очереди выбирает числа от 1 до 9, стремясь получить три числа, дающие в сумме 15. Нужно, чтобы пятнадцати была равна именно сумма трех чисел. Например, 1 + 9 + 5. Выбрать 6 + 9 нельзя. Играть в эту игру довольно сложно, потому что нужно не только держать в голове разные способы получить 15 из имеющихся у вас чисел, но и стараться не дать сопернику получить 15 раньше вас. Чтобы почувствовать, как трудно бывает учесть все возможные варианты, имеет смысл сыграть пробную партию с другом.

Шорткат для этой игры заключается в преобразовании ее в другую игру, играть в которую гораздо легче, – в крестики-нолики. Только играть нужно на магическом квадрате.

Магический квадрат замечателен тем, что сумма чисел в любой его строке, любом столбце и любой диагонали равна 15. Если вы играете в крестики-нолики на таком квадрате, вы на самом деле играете в 15. Но держать в голове геометрию игры в крестики-нолики гораздо легче, чем арифметические возможности получения суммы чисел, равной 15.

На следующей странице показана еще одна игра, играть в которую становится легко, если взглянуть на нее с правильной точки зрения. На чертеже показана карта городов, соединенных дорогами. Все дороги представляют собой прямые линии, и на каждой из них может быть 2, 3 или 4 города.

Рис. 3.5. Сеть дорог

Участники игры по очереди «забирают себе» дороги. Выигрывает тот, кто первым скопит три дороги, проходящие через один и тот же город. Чтобы понять, какие стратегии возможны в этой игре, в нее тоже полезно сыграть пробную партию. Но на самом деле это опять замаскированные крестики-нолики. Если обозначить дороги цифрами, как показано на рис. 3.6, окажется, что вы снова играете в крестики-нолики на магическом квадрате.

Рис. 3.6. Сеть дорог, помеченных цифрами магического квадрата

Еще одна классическая игра, стратегия которой становится очевидной, если перевести ее на другой язык, – это игра ним. Есть три кучки бобов. Каждый из участников, дождавшись своего хода, забирает из одной из кучек любое количество бобов. Побеждает тот, кто забирает последний боб. Количество бобов в кучках в начале игры может быть любым.

Предположим, например, что у нас есть три кучки, в которых 4, 5 и 6 бобов. Существует ли стратегия, помогающая победить в этой игре? Хитрость заключается в том, что количество бобов в каждой кучке нужно перевести в двоичную систему счисления. Как вы помните из предыдущей главы, в двоичной системе числа основаны на степенях 2, а не на степенях 10, как в десятичной. Так, 100 в двоичной системе обозначает число 4, потому что в позиции, соответствующей 2², стоит единица. Соответственно, 5 = 2² + 1, то есть 101, а 6 = 2² + 2, то есть 110. Кроме того, есть одно странное правило сложения таких чисел, которое поможет вам понять, выигрышно ли ваше положение в игре. Нужно складывать цифры, стоящие в соответствующих столбцах, но с учетом правила, согласно которому 1 + 1 = 0. Итак,