Предположим, что спасатель бегает в два раза быстрее, чем плавает. В какой точке ей следует войти в воду, чтобы спасти тонущего быстрее всего?

Если бы спасатель старалась минимизировать расстояние, которое ей нужно преодолеть, она бы просто провела прямую линию между начальной и конечной точками. Но, поскольку в воде спасатель перемещается медленнее, чем на суше, на самом деле ей нужно выбрать маршрут, сокращающий время плавания. Однако, если она побежит к точке, плавание из которой займет наименьшее время, возникнет другая проблема. В этом случае ей придется преодолеть большее расстояние по пляжу, что в конечном счете увеличит общее время. Видимо, оптимальным решением будет отправить спасателя в некоторую точку, расположенную справа от пересечения береговой линии с прямой между ними, но не доходя до места, в которое приходит перпендикулярная берегу прямая, проведенная от местоположения пловца. Где же лучше всего войти в воду, чтобы найти истинный шорткат к тонущему пловцу?

Ферма размышлял и об этой задаче. Это еще одна задача на оптимизацию. В варианте Ферма речь шла не о поиске самого быстрого маршрута для спасателя, а о пути, по которому распространяется луч света.

Вам, возможно, знакома странная иллюзия, возникающая в бассейне, когда внезапно начинает казаться, что на опущенной в воду палке появляется излом. На самом деле изгибается не палка, а свет, проходящий от палки до глаза наблюдателя. Как я уже говорил в главе 4, свет обожает шорткаты. Он старается найти кратчайший путь от палки до глаза. Но в воде свет распространяется медленнее, чем в воздухе. Поэтому он, как и наша спасатель, старается провести в воде как можно меньше времени, но так, чтобы время, проведенное в воздухе, не было чрезмерно долгим. Тот же принцип объясняет странные миражи, которые можно увидеть в пустыне. Свет, испускаемый участком неба, распространяется по кратчайшему пути через нагретый воздух, расположенный ближе к земле, а затем попадает в глаза, в результате чего кажется, что небо, похожее на воду, находится на земле.

Спасателю, как и советнику с его изгородью, нужно составить уравнение относительно времени, которое займет путь до пловца, если войти в море в Х метрах от начальной точки. Затем она сможет найти при помощи математического анализа значение Х, при котором это время будет наименьшим. Но что делать, если у вас под рукой нет ни бумаги, ни карандаша? Если алгебра и матанализ еще не изобретены? Что делать, если полагаться можно только на интуицию и ощущения? Что делать, если вы собака? Насколько хорошо собака сумеет определить правильную точку входа в воду?

Тим Пеннингс, профессор математики в Мичиганском университете Хоуп и собаковод, решил провести несколько экспериментов, чтобы проверить, насколько хорошо решает эту задачу из математического анализа его собака. Как и многие другие собаки, его вельш-корги по кличке Элвис обожает гоняться за мячиком. Поэтому Пеннингс решил, что проведет эксперимент, не спасая тонущих пловцов, а бросая мячик в озеро Мичиган во время прогулок с Элвисом и наблюдая за тем, какой маршрут к мячику Элвис будет выбирать.

Разумеется, главной целью Элвиса могла быть минимизация количества сил, затраченных на добывание мячика. В этом случае оптимальным решением было бы сократить до минимума время пребывания в воде и бежать к точке, в которой берег пересекает перпендикулярная к нему прямая, проведенная по поверхности озера. Но Пеннингс видел по блеску в глазах Элвиса и сильнейшему возбуждению собаки в тот момент, когда мячик вылетал из его руки, что Элвис стремится добраться до мячика как можно быстрее. Таким образом, все было готово для эксперимента по изучению интуитивных способностей Элвиса к математическому анализу.

Он вышел на прогулку с Элвисом в один из дней, когда на озере Мичиган не было сильного волнения и мячик, упавший в воду, не могло унести слишком далеко. Пеннингс, которому помогал друг, бросил мячик, побежал вслед за собакой и воткнул в землю отвертку в том месте, где Элвис зашел в воду. Затем он измерил рулеткой расстояние, которое Элвис проплыл до мячика.

В эксперименте было несколько фальстартов, когда Элвис бежал прямо к воде, выбрав явно не самый оптимальный маршрут. Пеннингс решил не учитывать эти попытки в своем анализе. «Даже у отличников бывают неудачные дни», – сказал он. Тем не менее к концу дня ему удалось собрать 35 результатов наблюдений за тем, как Элвис решал эту задачу. Какие же результаты показала собака? На удивление хорошие! В большинстве случаев Элвис оказывался довольно близко к оптимальной точке входа в воду. Отклонения Элвиса вполне можно отнести на счет несомненно случавшихся изменений условий эксперимента.

Значит ли это, что Элвис умеет использовать шорткат матанализа? Разумеется, нет. Но мозг животного поразительным образом развил способность находить такие шорткаты, не используя формального математического языка. Природа благоволит к тем, кто способен оптимизировать решения, так что у животных, которые могли интуитивно решать такие задачи, было больше шансов выжить, чем у тех, кто ошибался. Но способности мозга по части интуитивных оценок не безграничны. Поэтому когда Джон Гленн ожидал старта на пусковой площадке на мысе Канаверал, он не полагался на свою интуицию, а хотел, чтобы цифры, определяющие оптимальный маршрут, который позволит ему вернуться на Землю, проверили при помощи созданного человеком мощного инструмента, который мы называем математическим анализом.

Иногда животные решают задачи, подобные той, которую задали псу Элвису, коллективными усилиями. Есть данные, свидетельствующие, что обитатели муравейника находят оптимальные пути в ситуациях, похожих на задачу про спасателя, не хуже чем Элвис. В этом случае вместо мячика использовалась пища – таракан. В эксперименте с огненными муравьями, который поставили исследователи из Германии, Франции и Китая, муравьи находили наилучшие маршруты для доставки пищи в муравейник через две разные области. Многочисленные муравьи расходились в разные стороны и экспериментировали с разными маршрутами. Они помечали свой путь феромонами, что позволяло другим муравьям следовать за ними. По мере того, как все больше муравьев находили оптимальное решение, феромоновый след на соответствующем маршруте становился все сильнее.

Собственно говоря, действия муравьев были похожи на механизм, при помощи которого, как мы считаем, находит оптимальный путь свет. Откуда отдельному фотону света знать, какой путь наилучший? Квантовая физика утверждает, что фотон пробует одновременно все пути, а затем происходит коллапс его волновой функции на оптимальной траектории, когда такая обнаруживается. Муравьи используют сходную стратегию: они пробуют все возможные варианты, для чего требуется множество муравьев, пока не находят наилучший маршрут.

Природа очень хорошо умеет находить оптимальные решения. Свет находит самый быстрый путь к цели. Современная физика считает гравитацию падением материи сквозь геометрию пространства-времени по пути, обеспечивающему минимальную длительность падения. Подвешенные цепи помогли Рену решить задачу создания устойчивого купола. Мыльные пузыри используют минимизацию энергии в сферической форме. В не столь давние времена, в 1972 году, свойства мыльных пленок учел при проектировании мюнхенского олимпийского стадиона архитектор Фрай Отто. Чтобы сделать необычный волнистый навес, покрывающий стадион, конструктивно устойчивым, Отто анализировал образование мыльных пузырей на металлической раме.

Странная способность природы находить оптимальные низкоэнергетические решения получила математическое выражение в первой половине XVIII века, в принципе наименьшего действия Пьера Луи де Мопертюи. Мопертюи объяснял, что его математические выкладки сводятся к одной догме: «Природа экономна во всех своих действиях». Почему именно природа столь прижимиста, до сих пор не вполне понятно. Но иногда под рукой не оказывается собак, муравьев или мыльных пузырей, которые могли бы помочь нам найти нужный ответ. Тогда мы прибегаем к поразительному инструменту, который создали Ньютон и Лейбниц. Математический анализ был и будет поразительнейшим шорткатом к оптимальным решениям задач, с которыми мы сталкиваемся.

Вот что сказал о матанализе величайший мастер шортката Гаусс: «Такие концепции как бы объединяют в некое органическое целое бесчисленные задачи, которые иначе оставались бы изолированными, а решение их по отдельности требовало бы большего или меньшего приложения изобретательного разума».