По максимуму

Если Ньютону математический анализ был нужен, чтобы понять окружавший его непостоянный физический мир, Готфрид Лейбниц пришел к тем же идеям с более математического, философского направления. Он увлекался логикой и языками; им двигало стремление запечатлеть самое широкое многообразие разных объектов, находящихся в непрерывном движении. У Лейбница были грандиозные планы. Он был последователем невероятно рационалистских взглядов на мир. Если бы все удалось свести к математическому языку, способному недвусмысленно выразить что угодно, можно было надеяться положить конец страданиям человечества: «Исправить наши рассуждения можно, только сделав их настолько же поддающимися оценке, насколько поддаются ей рассуждения Математиков, чтобы ошибку можно было увидеть с первого же взгляда, а когда возникнут споры, мы могли попросту сказать: давайте же, не откладывая, вычислим, кто прав».

Хотя его мечта об универсальном языке решения задач так и не осуществилась, Лейбницу удалось создать свой собственный язык, способный запечатлевать непрерывно изменяющееся. В самом сердце его новой теории был алгоритм, несколько похожий на компьютерную программу или механический набор правил, который можно было применить для решения огромного множества еще не решенных задач. Лейбниц был очень доволен своим изобретением: «Ибо более всего мне нравится в моем анализе то, что он дает нам в геометрии Архимеда то же преимущество перед Древними, какое Виет и Декарт дали нам в геометрии Евклида или Аполлония, избавляя нас от необходимости использовать воображение».

Если изобретенные Декартом координаты превратили геометрию в числа, анализ Лейбница точно так же создал новый язык, позволяющий расшифровать и точно представить изменяющийся мир.

Хотя Ньютону и Лейбницу ставят в заслугу революционное превращение математического анализа в ту могущественную дисциплину, которую преподают в наше время, тот факт, что матанализ помогает находить шорткаты к оптимальным решениям задач, осознал Пьер де Ферма, прославившийся своей Великой теоремой.

Ферма хотел найти способ решения задач следующего типа. Царь пообещал своему доверенному советнику в награду за верную службу земельный надел у моря. Советник получил от царя 10 километров изгороди, чтобы застолбить прямоугольный участок, упирающийся в морской берег[90]. Советнику, естественно, хотелось бы, чтобы площадь его надела была максимальной. Как ему следует расположить изгородь?

По сути дела, тут можно варьировать лишь одну переменную – длину стороны участка, перпендикулярной берегу, которую я обозначу буквой Х. По мере ее роста протяженность участка вдоль моря уменьшается. Какое соотношение этих двух длин даст максимальную площадь прямоугольника, ограниченного изгородью? На первый взгляд может показаться, что следует выбрать квадратную форму. Стремление к максимальной симметрии часто бывает правильной стратегией для обнаружения шортката к решению. Например, мыльный пузырь стремится к симметричной сферической форме, при которой содержащийся в нем воздух окружает поверхность наименьшей возможной площади. Но даст ли симметрия квадрата правильный ответ нашему доверенному советнику?

Есть очень простая формула зависимости площади участка от Х, переменной длины стороны. Поскольку длина участка вдоль берега равна 10 – 2Х, площадь участка А должна составлять

Какое значение Х делает эту величину наибольшей? Можно, конечно, просто перебирать значения Х, пока нам не покажется, что мы нашли такое из них, которое делает площадь самой большой. Но это долгий путь к решению задачи. Ферма понял, что существует и другой, более легкий.

Рис. 6.3. График зависимости площади участка от длины одной из сторон. Площадь максимальна там, где горизонтальная прямая пересекает кривую в одной точке, а не в двух

Шорткат, который он нашел, состоял в преобразовании формулы площади в изображение. Построим график функции 10Х – 2Х². На самом деле этот шорткат в итоге избавляет и от необходимости строить графики, но, чтобы найти шорткат, иногда приходится сначала идти в обход. График представляет собой кривую, сперва растущую от Х = 0 до пика, а затем спадающую до Х = 5, при котором площадь равна нулю. Самое главное – выяснить, где находится пик. Именно в этой точке площадь будет наибольшей. Какое же значение Х соответствует пику?

Проведем на графике горизонтальную прямую. В общем случае она пересекает кривую в двух точках – кроме самой вершины, в которой горизонтальная прямая лишь касается кривой в одной точке. Эту точку мы и ищем: это вершина графика, соответствующая самой большой площади. Ферма нашел способ определять эту точку, не строя графика. Оказалось, что оптимальную площадь участка дает значение Х = 2,5. Участок получился не квадратом, а прямоугольником, длинная сторона которого в два раза длиннее короткой. Если вы не боитесь алгебраических выкладок, вот вам более подробное изложение идеи Ферма.

Пусть Х = а. Тогда горизонтальная прямая, проведенная через эту точку, пересечет другую сторону кривой в некоторой точке X = b, в которой высота кривой такая же, как и в точке Х = а. Значит, это точка, в которой

10a – 2a² = 10b – 2b²

Это равенство можно упростить при помощи некоторых алгебраических приемов. Перенесем все члены с квадратами в одну сторону:

2a² – 2b² = 10a – 10b