Гарантированно получить 4 миллиона — полезность: 60.
Ожидаемая ценность игры и «гарантированной суммы» равны в денежном выражении (4 миллиона), но психологическая полезность этих вариантов различна из-за снижающейся полезности богатства: увеличение полезности при росте богатства с 1 до 4 миллионов — 50 единиц, но такое же увеличение с 4 до 7 миллионов увеличивает полезность богатства только на 24 единицы. Полезность игры составляет 94/2 = 47 (полезность двух исходов, вероятность каждого — 1/2). Полезность 4 миллионов — 60. Поскольку 60 больше, чем 47, человек, использующий эту функцию полезности, предпочтет гарантированные деньги. Открытие Бернулли состояло в том, что человек, принимающий решение в рамках уменьшающейся предельной полезности богатства, будет избегать риска.
Эссе Бернулли — пример блестящей лаконичности. Он применил новое понятие — ожидаемую полезность (названную им «моральное ожидание»), чтобы подсчитать, сколько согласится заплатить купец в Санкт-Петербурге за страхование груза пряностей из Амстердама, если «будет знать, что в это время года из ста кораблей, идущих из Амстердама в Санкт-Петербург, пять пропадают». Функция полезности пояснила, почему бедные люди покупают страховку и почему богатые продают ее беднякам. Как видно из таблицы, потеря одного миллиона означает потерю 4 пунктов полезности (со 100 до 96) для того, у кого есть 10 миллионов, и гораздо более крупную потерю — 18 пунктов (с 48 до 30) — для обладателя 3 миллионов. Более бедный человек охотно заплатит за страховку, чтобы переложить риск на более богатого — в этом и состоит суть страхования. Бернулли также предложил решение знаменитого «санкт-петербургского парадокса», по которому люди, которым предлагают игру с бесконечной ожидаемой ценностью (в денежном выражении), готовы поставить только небольшую сумму. Что еще важнее, анализ подходов к риску в терминах предпочтений богатства выдержал проверку временем: он актуален в экономической науке почти триста лет спустя.
Долгая жизнь этой теории весьма примечательна, несмотря на то что в ней содержатся серьезные ошибки. В том, что теория выставляет напоказ, обнаружить ошибки сложно; они прячутся в том, что замалчивается или подразумевается. Например, рассмотрим такие ситуации:
Сегодня у Джека и Джилл есть по 5 миллионов у каждого.
Вчера у Джека был 1 миллион, а у Джилл — 9 миллионов.
Одинаково ли они довольны? (Одинаковая ли у них полезность?)
Теория Бернулли полагает, что именно полезность богатства делает людей счастливее или несчастнее. У Джека и Джилл одинаковое богатство, так что теория утверждает, что они должны испытывать одинаковое удовольствие; однако не нужно обладать глубокими познаниями в области психологии, чтобы понять, что Джек сегодня ликует, а Джилл — в отчаянии. Мы даже знаем, что Джек был бы намного счастливее Джилл, если бы у него сегодня оказалось 2 миллиона, а у Джилл — 5. Так что теория Бернулли ошибается.
Радость, которую испытывают Джек или Джилл, определяется последними изменениями их богатства относительно различных состояний, определяющих точку отсчета (1 миллион для Джека, 9 миллионов для Джилл). Эта зависимость от точки отсчета присутствует в ощущениях и восприятии. Один и тот же звук может восприниматься как очень громкий или довольно тихий — в зависимости от того, предшествовал ли ему шепот или рев. Чтобы предсказать субъективное ощущение громкости, мало знать абсолютную энергию; нужно знать и исходный звук, с которым сравнивается текущий. Точно так же необходимо знать фон, чтобы предсказать, покажется ли серое пятно на странице темным или светлым. А прежде чем предсказывать полезность какой-то суммы, необходимо знать точку отсчета.
Еще один пример слабых мест теории Бернулли. Рассмотрим Энтони и Бетти.
Текущее состояние Энтони — 1 миллион.
Текущее состояние Бетти — 4 миллиона.
Им обоим предлагают выбрать между игрой и гарантированной суммой.
Игра: равные шансы иметь в итоге 1 миллион или 4 миллиона или
Гарантированная сумма: 2 миллиона.
С точки зрения Бернулли, Энтони и Бетти стоят перед одним и тем же выбором: ожидаемое богатство составит 2,5 миллиона в случае игры и 2 миллиона, если они выберут гарантированные деньги. Бернулли, таким образом, предположил бы, что Энтони и Бетти сделают одинаковый выбор; но это предсказание неверно. Здесь теория не срабатывает, потому что не учитывает различные точки отсчета, с которых Энтони и Бетти оценивают варианты. Представьте себя на месте Энтони и Бетти, и вы быстро сообразите, что текущее состояние значит очень много. Вот примерный ход их мыслей:
Энтони (у которого сейчас 1 миллион): «Если я выберу гарантированные деньги, мое состояние удвоится. Это очень заманчиво. С другой стороны, я могу сыграть — с равными шансами получить вчетверо больше или не выиграть ничего».
Бетти (у которой 4 миллиона): «Если я выберу гарантированные деньги, я потеряю половину состояния — и это ужасно. С другой стороны, я могу сыграть — с равными шансами потерять три четверти состояния или не потерять ничего».
Легко понять, что Энтони и Бетти стоят перед разным выбором, потому что гарантированное обладание 2 миллионами принесет Энтони радость, а Бетти — горе. Обратите также внимание, как отличается гарантированный исход от худшего исхода игры: для Энтони это выбор между удвоением богатства и нулевым выигрышем; для Бетти — выбор между потерей половины состояния и потерей трех четвертей. Бетти, скорее всего, попытает счастья, как и все, кто выбирает из двух зол. В таком изложении истории ни Энтони, ни Бетти не рассуждают в терминах размера богатства; Энтони рассуждает о выигрыше, а Бетти — о потерях. Психологические исходы, которые они рассматривают, совершенно различны, хотя возможные размеры богатства одинаковы.
Поскольку в модели Бернулли отсутствует понятие точки отсчета, теория ожидаемой полезности не отражает очевидного факта: исход, благоприятный для Энтони, плох для Бетти. Эта модель может объяснить неприятие риска Энтони, но не может объяснить принятие риска и выбор игры у Бетти — поведение, часто наблюдаемое у предпринимателей и военачальников, когда приходится выбирать из двух зол.