Аксиоматизация арифметики Фреге, т. е. формальный вывод всех ее теорем на основе принятого набора аксиом, осуществлялась посредством разработанной Г.Кантором теории множеств. Вот в этой теории Рассел и обнаружил парадокс, относящийся к особому классу объектов всех классов, не являющихся членами самих себя. Вопрос состоит в том, является ли такой класс членом самого себя или нет? Если является, то нет, а если нет — то является. Для устранения парадокса Рассел разработал т. н. теорию типов, по которой множество (класс) и его элементы относятся к разным логическим типам и тип множества выше типа его элемента. Постулировав запрет на объединение в одном множестве элементов разных логических типов, Рассел устранил парадокс.

Теория типов позволила избавиться не только от парадокса Рассела, но и от многих других парадоксов (Бурали-Форте, Греллинга-Нельсона и др.). В частности, с ее помощью решается и известный со времен античности семантический парадокс лжеца:

"Критянин Эпименид утверждал, что все критяне лжецы". Если это правда, то это ложь, поскольку сказано критянином. Если ложь — то правда по той же причине.

Причина парадокса коренится в слове "все": оно, в нарушение запрета теории типов относит высказывание само к себе. Из этого парадокса следует, что не все грамматически правильно построенные высказывания из осмысленных слов обязательно будут или истинными, или ложными. Поэтому в теоретической метафизике нужно обращать внимание не только на содержание высказываний, но и на сами эти высказывания, на их семантику, во избежание появления неразрешимых псевдопроблем.

Разработка теории типов для устранения логических парадоксов привела к замене дихотомии "ложь- истина" трихотомией: "ложь — истина — бессмыслица". Т. е. предложения могут быть не только ложными или истинными, но и бессмысленными. Бессмысленные предложения могут быть как вследствие нарушения логических правил ("То, что я сейчас сказал, ложь"), так и по семантическим причинам, из-за отсутствия в них значения и смысла. Классическим примером является грамматически правильное предложение: "Глокая кудра штеко будланула бокра и курдячит бокренка".

Открытые в начале ХХ в. математические антиномии типа парадокса Рассела стимулировали пересмотр оснований других разделов математики, их аксиоматизацию, в результате чего все известные к середине прошлого столетия парадоксы были устранены. Однако оказалось невозможным доказать, что новые парадоксы не будут обнаружены в будущем. Это следует из теоремы К.Геделя о неполноте. Из этой теоремы следует, что в любой достаточно богатой формальной системе типа арифметики натуральных чисел или аксиоматической теории множеств имеются истинные предложения, которые в рамках данных системах недоказуемы и неопровержимы. Для доказательства или опровержения таких предложений необходимо использовать систему более высокого уровня (метасистему). Из теоремы Геделя следует принципиальная невозможность формализации научного знания, т. к. метаязыком самого высоко уровня является язык обычного общения, который не формализуем. Но это свидетельствует и о том, что обычный язык является наиболее подходящим инструментом для анализа метафизических проблем.

Основываясь на идеях логического анализа и трактуя философию как глубинный анализ языка, Бертран Рассел разработал основы новой философской концепции, названной логическим атомизмом.

Концепция логического атомизма исходила из того, что подобно тому, как математическая логика сделала возможным определение оснований математики, она позволит сформулировать и основания философии, и исключить из нее все недостаточно обоснованное, все "метафизические химеры". Предметом философии должен стать логический анализ естественных наук с целью выявления конечной структуры исходных данных наук в виде простых атомарных фактов, записанных в виде атомарных предложений. Здесь истина изначально понимается как система выраженных тем или иным языком понятий о реальности, а не как сама Реальность. Т. о. с самого начала постулируется подход, обрекающий на непознаваемость трансцендентного.

В концепции логического атомизма описание действительности предлагалось представить в виде "молекулярных" и "атомарных" предложений, составленных из логических атомов. Под логическими атомами, которые не отождествляются с атомами физическими, Рассел понимал чувственные данные и универсалии (предикаты и отношения). Из фактов состоят предложения, которые могут быть истинными или ложными. Истинность или ложность составленных по правилам формальной логики предложений должна зависеть только от отношений к описываемым ими фактам.

Дальнейшим развитием логического атомизма Рассела стал "Логико-философский трактат" (1922 г.) [18] Людвига Витгенштейна.