18 446 744 073 709 551 615.
Оно превышает количество риса, выращенного на всей нашей планете за последнее тысячелетие. Мораль здесь та, что иногда для избавления от тяжелой работы можно заняться другой тяжелой работой, после которой задачу оказывается гораздо легче проанализировать.
Как выяснил на собственном горьком опыте царь, удвоение только сначала выглядит невинно, а потом очень быстро взлетает ввысь. Таково могущество экспоненциального роста. Этот эффект ощущают на себе те, кто занимает деньги, чтобы покрыть долги. На первый взгляд предложение компании, дающей 1000 фунтов под 5 процентов в месяц кажется спасительным. Месяц спустя вы оказываетесь должны ей всего 1050 фунтов. Но проблема заключается в том, что через каждый следующий месяц сумма долга умножается еще на 1,05. Через два года долг составляет уже 3225 фунтов. К пятому году он возрастает до 18 679 фунтов. Такая система очень выгодна кредитору, но не должнику.
Тот факт, что многие не понимают этого паттерна экспоненциального роста, означает, что он вполне может быть шорткатом к разорению. Компании, выдающие «кредиты до зарплаты», успешно пользуются такой неспособностью понять, к чему приведет в будущем этот паттерн, навязывая беззащитным клиентам договоры, выглядящие на первый взгляд весьма привлекательно. Чтобы не разориться и не оказаться в беспомощном положении, без какой бы то ни было возможности вернуться в безопасное состояние, важно вовремя понять, насколько опасно удвоение и куда оно может нас завести.
Все мы познали ужасающую скорость экспоненциального роста – с дорого обошедшимся нам запозданием – на примере пандемии коронавируса 2020 года. Число инфицированных удваивалось в среднем каждые три дня, и это привело к перегрузке системы здравоохранения.
В то же время могущество экспоненциальной зависимости также помогает объяснить, почему на Земле (вероятно) нет вампиров. Чтобы выжить, вампиру нужно питаться человеческой кровью не реже раза в месяц. Проблема заключается в том, что тот, чьей кровью питается вампир, тоже становится вампиром. Поэтому в следующем месяце вампиров, ищущих человеческой крови, становится в два раза больше.
Численность населения мира оценивается приблизительно в 6,7 миллиарда человек. Численность вампиров каждый месяц удваивается. Сокрушительная сила удвоения такова, что всего за 33 месяца один-единственный вампир превратит в вампиров все население мира.
На случай же, если вы все-таки встретитесь с вампиром, вот вам полезный прием из арсенала математика, позволяющий защититься от кровососущего чудовища. Помимо классических средств – чеснока, зеркал, распятий – есть один довольно необычный способ избавиться от Князя Тьмы: нужно рассыпать вокруг его гроба маковое семя. Оказывается, вампиры страдают арифмоманией – патологическим стремлением считать. Теоретически Дракула не должен успеть закончить подсчет маковых семян, рассыпанных вокруг его ложа, пока взошедшее солнце не загонит его обратно в гроб.
Арифмомания – тяжелое заболевание. Этим расстройством страдал изобретатель Никола Тесла, исследованиям которого в области электричества мы обязаны переменным током. Он был одержим числами, делящимися на три: требовал, чтобы у него каждый день было ровно 18 чистых полотенец, и считал свои шаги, чтобы их число непременно делилось на три. Возможно, самое известное из художественных описаний арифмомании – это образ Графа фон Знака из «Улицы Сезам», вампира, который помог многим поколениям телезрителей сделать первые шаги по пути математики[17].
Паттерны городские
Вот чуть более трудная последовательность чисел. Сможете ли вы найти паттерн в ней?
179, 430, 1033, 2478, 5949 …
Здесь нужно разделить каждое число на предыдущее. Коэффициент получается равным 2,4. Это по-прежнему экспоненциальный рост, но интересно не это, а то, что́ на самом деле выражают эти числа.
Это количество патентов, выданных в городах с населением 250 000, 500 000, 1 миллион, 2 миллиона и 4 миллиона человек. Оказывается, что при удвоении населения города число патентов не просто удваивается, как можно было бы предположить. Чем крупнее город, тем более творческим он кажется. По-видимому, удвоение численности населения добавляет к творческому потенциалу лишние 40 процентов! И такой паттерн роста проявляется не только в патентах.
Несмотря на огромные культурные различия между Лондоном, Рио-де-Жанейро и Гуанчжоу, существует математический паттерн, связывающий все города от Бразилии до Китая. Мы привыкли описывать их, опираясь на особенности их географического положения и истории, подчеркивая индивидуальные отличия каждого места – Нью-Йорка или Токио. Но это всего лишь детали, интересные случайности, мало что объясняющие. Если же взглянуть на город глазами математика, начинают проявляться универсальные черты, не зависящие от политических и географических границ. Эта математическая точка зрения позволяет понять, чем именно привлекают нас города… и доказывает, что чем больше, тем лучше.
Математика показывает, что рост каждого из ресурсов города можно описать одним-единственным волшебным числом, характерным для этого ресурса. При каждом удвоении численности населения города его социальные и экономические параметры тоже увеличиваются, но не просто вдвое, а чуть больше. Замечательно, что для многих ресурсов это «чуть больше» составляет около 15 процентов. Например, если сравнить город с населением 1 миллион человек с городом с населением 2 миллиона, то окажется, что ресторанов, концертных залов, библиотек, школ в более крупном городе больше не в два раза: их количество больше удвоенного на 15 процентов.
Это правило масштабирования затрагивает даже зарплаты. Если взять двух работников, выполняющих в точности одну и ту же работу, но в городах разных размеров, то зарплата работника, живущего в городе с населением 2 миллиона, в среднем будет на 15 процентов выше, чем у работника из города, в котором всего 1 миллион жителей. Если удвоить численность населения еще раз, до 4 миллионов человек, зарплата увеличится еще на 15 процентов. Чем крупнее город, тем больше вы получаете, хотя работа остается той же самой.
Выявление таких паттернов может стать ключевым фактором, позволяющим компании извлечь максимальную прибыль из капиталовложений. Города бывают самых разных форм и размеров. Понимание того, что форма не важна, а размер имеет значение, дает компании возможность вкладывать средства гораздо более рационально, просто переехав в город в два раза большего размера.
Этот странный всеобщий принцип масштабирования был открыт не экономистами или социологами, а физиком-теоретиком, использовавшим те же математические методы анализа, которые обычно применяют в исследованиях фундаментальных законов, лежащих в основе Вселенной. Джеффри Уэст, родившийся в Великобритании, изучал физику в Кембридже, а затем работал в Стэнфорде, занимаясь исследованиями свойств элементарных частиц. Но к открытиям в области роста городов его подтолкнул переход на должность президента Института Санта-Фе. Этот институт специализируется на программах, позволяющих взаимодействовать и обсуждать идеи специалистам, работающим в разных дисциплинах. Шорткат к разрешению загадок в одной области очень часто бывает ответвлением, которое проходит через какую-нибудь другую область, на первый взгляд совершенно не связанную с первой.
Именно та смесь математики, физики и биологии, которая бурлила в Институте Санта-Фе, заставила Уэста задуматься над следующим вопросом: существуют ли у городов, разбросанных по всему миру, универсальные характеристики, подобные универсальным свойствам электронов или фотонов, не зависящим от того, в какой точке Вселенной они находятся?